Controllers Trickkiste: Denkfehler in der Prozentrechnung aufdecken

Ein auf den ersten Blick simples Thema führt in der Praxis nicht selten zu Problemen: Es geht um Prozentzahlen. Sie können bei der Analyse von Zahlen häufig helfen, um wichtige Bewegungen zu erklären. Aber gerade in Corona-Zeiten gibt es erstaunliche Prozentangaben z. B. zu den Änderungen der Wirtschaftsleistung. Aus den USA war zu hören, dass die Wirtschaftsleistung um 32,9 % zurückgegangen sei, während in Europa so gerade zweistellige Verluste zu verzeichnen waren.

Destatis meldet für Deutschland -10,1 % gegenüber dem Vorquartal, wobei vorbildlich gleich mit angegeben wird, dass diese Zahl preislich, saisonal und kalendermäßig korrigiert wurde. Die Differenz zwischen Deutschland und USA passt nicht zusammen, zumal in den USA das Leben nicht so stark heruntergefahren wurde wie in Europa.

Da auch in vielen anderen Bereichen die Prozentrechnung zu Missverständnissen führt, sollen die Probleme in diesem Beitrag aufgearbeitet werden, damit der Controller die vielfältigen Fallen vermeiden kann.

Standardkalkulationen mit Beispielen

Wie die Bezeichnung "Prozent" (per Hundert) besagt, werden die Größen auf 100 normiert. Dies geschieht dadurch, dass die neue Größe durch die alte Größe (= Bezugsgröße) dividiert wird. Wenn man dann nur die Änderung haben will, wird noch -1 gerechnet. Damit sieht die allgemeine Kalkulationsformel für eine prozentuale Änderungen PÄ wie folgt aus:

PÄ = NW/AW - 1
NW Neuer Wert
AW Alter Wert = Bezugsgröße

Wenn also das neue Gehalt 3150 €/M beträgt (=NW) und das alte 3000 €/M (=AW), dann beträgt die prozentuale Änderung PÄ = 3150/3000 - 1 = 0,05 = 5 %. Problematisch ist bereits in diesem Beispiel, dass keinerlei Zeitraum angegeben ist. Wenn die letzte Lohnerhöhung erst 6 Monate zurückliegt, wäre der Anstieg sicher erfreulich. Wenn es jedoch 5 Jahre sind, wäre die Erhöhung sehr bescheiden. Dieses Problem der Zeiträume wird weiter unten gelöst. Die gleiche Kalkulationsweise kann auch angewendet werden, wenn der neue Wert kleiner ist als der alte.

Wenn der Preis eines E-Autos 20.000 € betrug, bevor der Staat seine Innovationsprämie um 3.000 € erhöht hat, so macht die Reduktion im ersten Schritt 17.000/20.000 -1 = 0,85 -1 = -0,15 = -15 % aus. Die Betonung des ersten Schrittes ist wichtig, weil die Hersteller das Subventionsgeschenk genutzt haben, um vorher gegebene zusätzliche eigene Rabatte zurückzufahren. Wenn dann der neue Preis nach dieser Kompensation 19.000 € beträgt, dann beläuft sich die Reduktion nur auf 5 %. Auch die Mehrwertsteuersenkung wurde bei vielen gleich eingesackt, mit dem abstrusen Ergebnis, dass einige Fahrzeuge aus dem VW-Konzern inzwischen teurer sind als vorher.

Am Rande sei noch eine weitere Folge der Prozentdarstellung (Prozent = pro hundert) erwähnt. Wenn also 10 % gesagt wird, heißt dies, dass 10 durch 100 dividiert werden muss, was 0,1 ergibt. Insofern ist es überflüssig oder noch genauer sogar falsch, wenn das dezimale Ergebnis von 0,1 mit 100 multipliziert wird. Es gilt einfach: 10 % = 0,1.

Richtige Bezugsbasis

Eine weitere Falle lauert immer dann, wenn sich die Änderung nicht auf 1 oder 100 bezieht. Denn dann kann es schwierig werden, die tatsächliche Änderung abzuschätzen. Aufgetreten ist der Fall anlässlich der Mehrwertsteuersenkung von 19 % auf 16 %, die nicht selten als 3 % Preissenkung verstanden wurde. Die tatsächliche Änderung kann man leicht ermitteln, wenn man von einem Nettopreis von 100 ausgeht. Der alte Bruttopreis war dann 119, der neue 116. Somit ergibt sich gemäß der obigen Formel 116/119 – 1 = -0,0252 = - 2,52 %. Die Senkung ist also geringer gewesen als viele vermuten.

Dieser Effekt der falschen Bezugsbasis wird von einigen Unternehmen trickreich ausgenutzt, wenn sie für eine Sonderaktion ankündigen: "Wir übernehmen die Mehrwertsteuer." In Wirklichkeit wird keine Preissenkung von 19 % gewährt, sondern ein reduzierter Wert. Wenn das Unternehmen die 19-prozentige Mehrwertsteuer übernehmen will, heißt dies, dass der zu bezahlende Preis 100 statt 119 beträgt.

Die obige Formel zeigt sofort, dass die tatsächliche Reduktion nur 100/119 – 1 = 0,84 -1 = -0,16 = -16 % beträgt. Für das Unternehmen ist das eine tolle Sache, weil die meisten Kunden glauben, Sie würden 19 % sparen. Der umgekehrte Fall wird auftauchen, wenn am 1.1.2021 wieder der Satz von 19% gilt. Diese Erhöhung ist nicht 3 %, sondern 0,03/1,16 = 2,59%.

Weitere Probleme tauchen auf, wenn die Bezugsbasis negativ ist. Ein Unternehmen, welches im alten Jahr einen Gewinn von -100 Mio€ gemacht hat, muss bei der Prozentrechnung sehr aufpassen. Denn wenn der Verlust in der neuen Periode auf -200 Mio€ gestiegen ist, ergibt die obige Formel -200/-100 – 1 = 1 = 100%. Das kann als Gewinnverdopplung missverstanden werden. Genauso problematisch ist die Prozentberechnung, wenn – bei gleicher Vorjahreszahl von -100 Mio€ der aktuelle Gewinn +50 Mio€ beträgt. Denn dann erhält man eine negative Wachstumsrate von 50/-100 – 1 = -1,5 = -150 %. In Excel kann man den Blödsinn abfangen durch eine Abfrage, ob der Basiswert negativ ist.

Zeitraumaspekt bei prozentualen Änderungen

Das bereits oben erwähnte Problem der Zeiträume soll nun näher betrachtet werden. Dazu muss geprüft werden, ob sich eine Prozentzahl auf einen längeren Zeitraum mit einigen Teilintervallen bezieht oder nur auf zwei Zeiträume. Die obige Standardformel gibt den einfachen Fall mit zwei Zeiträumen wieder. Im Beispiel des Bruttoinlandsprodukts Deutschlands wurden zwei Quartale verglichen. Die Antwort von -10,1 % erfordert unbedingt die Nennung des Vergleichszeitraums, der in diesem Fall mit dem Vorquartal angegeben war. Diese unterjährige Berechnung kann aber zu Problemen führen, weil die Wachstumsraten nur schwer zu vergleichen sind, wenn sie mal monatlich, mal quartalsweise oder auch mal jährlich angegeben werden. 

Deswegen werden in den USA die Quartalsraten auf Jahresraten hochgerechnet, indem angenommen wird, dass sich das Wachstum in den nächsten drei Quartalen genauso weiterentwickelt wie im gerade abgelaufenen Quartal. Dazu wird die Variable Prozentuale Änderung PÄ mit einem Zeitindex versehen. PÄQ bedeutet dann eine quartalsweise Änderung. Die jährliche Änderung PÄJ müsste als Standardlösung eigentlich nicht indiziert werden. Das wird hier trotzdem für eine größere Klarheit gemacht. Der Zusammenhang ist dann wie folgt:

PÄ_J = (1 + PÄ_Q)⁴ -1

In den USA betrug die quartalsweise Änderung PÄ_Q -9,5 %. Daraus ergibt sich dann für die jährliche Änderung PÄ_J = (1 + -0,095)⁴ -1 = -0,329 = -32,9 %. Diese Zahl wurde in der Einleitung zitiert. Es ist offensichtlich, dass auf das Jahr hochgerechnete Wachstumszahlen nicht mit quartalsweisen oder monatlichen verglichen werden dürfen. Wenn die monatliche Änderung bekannt ist, dann muss diese als PÄ_M in die obige Klammer eingesetzt werden. Der Exponent in der obigen Formel beträgt dann 12.

Wichtig ist somit immer, dass der betrachtete Zeitraum erwähnt wird. Umgekehrt kann eine Umrechnung der jährlichen Änderung in eine quartalsweise oder monatliche Änderung notwendig werden. Dazu wird die obige Gleichung nach PÄ_Q aufgelöst:

PÄ_Q = (1 + PÄ_J)^(1/4) - 1

Wenn man für das amerikanische Beispiel die Jahresänderung kennt und daraus die quartalsweise PÄ_Q ableiten möchte, erhält man wieder 0,671^(1/4) – 1 = 0,905 – 1 = - 0,095 = - 9,5 %.

In anderen Fällen kommt es vor, dass eine Veränderung, etwa der Löhne, über einen längeren Zeitraum als ein Jahr läuft. Zur Einschätzung empfiehlt es sich dann, die Gesamterhöhung in durchschnittliche jährliche Erhöhungen umzurechnen. Erst danach ist ein Vergleich mit anderen Erhöhungen und damit eine Beurteilung möglich.

Dieser Fall tritt in den letzten Jahren immer häufiger auf, weil sich Arbeitgeber und Arbeitnehmer nur über ein kompliziertes Paket einigen können, aus dem ein jeder dann seiner Seite beweisen kann, dass er gut verhandelt hat. Als Beispiel sei ein Tarifvertrag über 30 Monate gewählt, bei dem sofort und nach Monat 18 jeweils eine Erhöhung von 3 % vereinbart wurde, also insg. über 6,09 %.

Wer vorher einen Lohn von 3.000 €/M hatte, erhält im 30. Monat einen Betrag von 3.182,70 €/M. Das lässt sich gut verkaufen, weil vielen Arbeitnehmern nicht klar ist, dass die Erhöhung nicht mehr so toll ist, wenn sie auf das Jahr umgerechnet wird. Dies geschieht indem aus dem Faktor der Gesamterhöhung(1 + PÄ_total) die Wurzel der Laufzeit durch 12 gezogen wird:

PÄ_J = (1 + PÄ_total)^(1/(LZ/12)) -1 p.a.
Mit den Daten des Beispiels ergibt sich:
PÄ_J = (1 + 0,0609)^(12/30) -1 = 0,0239 = 2,39 % p.a.

Die durchschnittliche jährliche Erhöhung würde als 2,39 % betragen. Dieser Anstieg lässt sich dann leicht mit anderen jährlichen Lohnerhöhungen vergleichen. Nicht erfasst wird dabei das Timing der Lohnerhöhungen während des Vertragslaufzeit. Bei frühen Erhöhungen profitieren die Arbeitnehmer etwas mehr, bei späteren etwas weniger. Langfristig ist aber die durchschnittliche Erhöhung relevant, weil auf dieser Basis alle weiteren Steigerungen ermittelt werden.

Ein anderes Problem der Bezugsgröße darf der Bürger jeden Abend im Fernsehen bestaunen, wenn die Anzahl der Corona-Neuinfektionen mitgeteilt wird. Insbesondere dienstags ist die Zahl beispielsweise mit 900 deutlich höher als am Vortag, etwa mit 500, ein Anstieg von 80 %. Der Grund liegt einfach darin, dass infolge unterschiedlicher Öffnungszeiten der Gesundheitsämter am Wochenende einige Meldungen erst am Dienstag kommen. Wenn man solche Verzerrungen kennt, kann man der Fehlinformation aus dem Wege gehen, indem man 7-Tagesdurchschnitte berechnet. Damit lässt sich ein Teil der Erhebungsprobleme lösen und die Ergebnisse haben eine höhere Aussagekraft.

Mehrjährige Wachstumsraten in der Planung

Der Controller managt u.a. auch die mittelfristige Planung, welche sich je nach Unternehmen über ca. 5 Jahre zieht. Um dabei Entwicklungen aufzeigen zu können wird die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate für wichtige Größen ermittelt. Im Englischen wird sie häufig als CAGR (Compounded Annual Growth Rate) bezeichnet, wobei teilweise das "A" weggelassen wird. Als Bezugsbasis dient häufig der Plan oder Forecast z. B. des Nettoumsatzes des aktuellen Jahres NU₀. Die Formel sieht zum Beispiel für das Wachstum des Nettoumsatzes NU wie folgt aus:

CAGR = (NU₅ / NU<₀)^(1/5) - 1

Wenn der Forecast des Nettoumsatzes im Basisjahr 0 (NU₀) 100 Mio€ beträgt und die Planung des Nettoumsatzes für das letzte Jahr (NU₅) 200 Mio€, so ergibt sich die jährliche Wachstumsrate zu 2^(1/5) -1 = 14,9 % p.a. Diese findet sich auch in der folgenden Abbildung in der letzten Spalte:

in Mio€/Pe	Forecast	Plan	Plan	Plan	Plan	Plan	CAGR
Jahr	2020	2021	2022	2023	2024	2025	2020-2025
Nettoumsatz	100,0	110,0	121,0	133,1	146,4	200,0	14,9 %
Wachstum		10,0 %	10,0 %	10,0 %	10,0 %	36,6 %
COGS	50,0	54,0	58,3	63,0	68,0	76,2	8,8 %
Wachstum		8,0 %	8,0 %	8,0 %	8,0 %	12,0 %
Gross Profit	50,0	56,0	62,7	70,1	78,4	123,8	19,9 %
Wachstum		12,0 %	11,9 %	11,9 %	11,8 %	57,9 %
GP Margin	50,0 %	50,9 %	51,8 %	52,7 %	53,5 %	61,9 %
Steigerung in PP		0,9 %	0,9 %	0,9 %	0,9 %	8,4 %
Marketing / Vertrieb	25,0	26,5	28,1	29,8	31,6	33,5	6,0 %
Wachstum		6,0 %	6,0 %	6,0 %	6,0 %	6,0 %
UL / Verwaltung	12,0	12,6	13,2	13,9	14,6	15,3	5,0 %
Wachstum		5,0 %	5,0 %	5,0 %	5,0 %	5,0 %
Ebit	13,0	16,9	21,4	26,4	32,2	75,0	42,0 %
Wachstum		30,0 %	26,4 %	23,8 %	21,9 %	132,8 %
Ebit Margin	13,0 %	15,4 %	17,7 %	19,9 %	22,0 %	37,5 %
Steigerung in PP		2,4 %	2,3 %	2,2 %	2,1 %	15,5 %
CAGR: Compounded Annual Growth Rate				PP: Prozentpunkte
COGS: Cost of Goods Sold

 
Abb. 1: Unternehmensplanung mit verschiedenen Wachstumsraten

Die oben beschriebenen prozentualen Änderungen (hier Wachstumsraten), die Anteile am Nettoumsatz und auch die Compounded Annual Growth Rates sind genauso verwendet. Auf den zweiten Blick erkennt man, dass die Planung zum Ende hin wohl nicht mehr realistisch ist mit dem großen Anstieg der Nettoumsätze von 36,6 % im letzten Jahr. Dies sieht man in der Praxis nicht selten, wenn eine bestimmte durchschnittliche Wachstumsrate erreicht werden muss. Die Manager können offiziell sagen, dass das durchschnittliche Wachstum (letzte Spalte) mit fast 15 % sehr erfreulich ist, sind aber wahrscheinlich auf einem anderen Job, wenn das kaum schaffbare Jahr 5 begonnen hat.

Es ist also verdächtig, wenn die Planzahl des letzten Jahres besonders gut aussieht. Denn nur sie bestimmt die durchschnittliche jährliche prozentuale Wachstumsrate, weil die zwischenzeitlichen Werte nicht in die Formel eingehen. Am Rande bemerkt sei ein nicht seltener Fehler, der auftreten kann, wenn die Bezugsgröße mit Jahr 1 bezeichnet wird und dann wieder bis Periode 5 gerechnet wird. Man findet in der Praxis einige Präsentationen, in denen dann bei wieder 5-jähriger Laufzeit trotzdem die 5. Wurzel statt der 4. Wurzel gezogen wird.

Probleme bei Prozentpunkten

Prozentpunkte werden z. B. in den Unternehmen eingesetzt, um Änderungen von Umsatzrenditen zu analysieren. Auf die vielfältigen Gefahren des falschen Einsatzes dieser Umsatzrenditen soll hier nicht näher eingegangen werden.

Wenn eine Gewinngröße durch den Nettoumsatz dividiert wird, so erhält man eine Umsatzrendite. Konkret muss gesagt werden, welche Gewinngröße im Zähler steht, damit es keine Verwechslungen gibt. Es gibt viele Möglichkeiten wie die Rohertragsumsatzrendite, die Gross Profit Umsatzrendite, die Deckungsbeitragsumsatzrendite, die Ebit-Umsatzrendite und viele mehr.

Im internationalen Reporting findet man häufig die Gross Profit Umsatzrendite, bei der im Zähler der Nettoumsatz abzüglich der Cost of Goods (alle mit der Produktion und der Supply Chain verbundenen Kosten) steht. Wenn der Gross Profit 5 Mio€ in einer bestimmten Periode beträgt und der Nettoumsatz 10 Mio€, dann ergibt sich die Gross Profit Umsatzrendite (oder GP Margin) zu 50%. Wenn dann im Folgejahr eine Quote von 51% erzielt wird, muss die positive Differenz von 1 % als Prozentpunkt gekennzeichnet werden.

Das Unternehmen scheint erfreulich abgeschnitten zu haben. Doch es handelt sich bei den Umsatzrenditen um aggregierte Größen, die zwar neue Aussagen zulassen, aber auch zu Informationsverlusten führen, wenn sie isoliert betrachtet werden. Also gilt auch in diesem Fall, dass die Änderungen der relativen Größen nicht ohne Angabe der vier absoluten Größen (Gross Profit alt/neu, Nettoumsatz alt/neu) genannt werden sollten. Denn die Gründe für die Änderungen können in jeder Größe liegen:

1. Eine Preiserhöhung wurde erfolgreich durchgeführt
2. Höhere Mengen wurden verkauft
3. Die Kosten konnten gesenkt werden 

Genauso kann es passieren, dass eine oder mehrere der Größen a) bis c) in der Basisperiode außerordentlich schlecht gewesen ist. Häufig müssen auch noch Kombinationen der relevanten Größen betrachtet werden. Es kann sogar sein, dass sich hinter einer gestiegenen Umsatzrendite ein großes Problem verbirgt. Wenn in einem Markt mit fallenden Rohstoffpreisen zu früh langfristige Verträge geschlossen wurden, so verbessert sich zwar die Umsatzrendite, aber sie hätte noch viel mehr Potential gehabt. Dies hätte gegebenenfalls mit Optionen gehoben werden können.

Ein weiteres Beispiel: Im geplanten Heizungsgesetz der Regierung (Stand Juli 2023) wird vorgeschrieben, dass eine neue Heizung zu 65% mit erneuerbaren Energien betrieben werden muss. Davon abgesehen, dass zusätzlicher Strom fast nur fossil gewonnen werden darf und damit Wärmepumpen eigentlich gar nicht zulässig sind (vgl. Hoberg (2023), S. 1 ff.) kann diese Prozentangabe zu unsinnigen Ergebnissen führen.

Ein Hausbesitzer mit einem Jahresbedarf von 30.000 kWh kann eine Anlage betreiben, die 10.000 kWh aus fossilen Brennstoffen benötigt.

Ein anderer, der durch gute Dämmung nur insgesamt 5000 kWh benötigt, darf diese nicht allein fossil erzeugen.

Dieses - zugegebenerweise extreme - Beispiel zeigt, dass Informationen oder Vorgabe allein auf Basis von Prozentwerten leichtsinnig sein können.

Schlussbemerkung

Prozentzahlen können häufig helfen, Sachverhalte noch besser zu verstehen. Voraussetzung ist aber auch für den Controller, dass sie korrekt bestimmt werden. Zudem zeigen sie als relative Größe nur einen Teil der Wirklichkeit. Hohe Steigerungsraten bei einer geringen Basis führen in die Irre.

Im Weiteren ist es entscheidend, die Einheiten richtig anzugeben. Im einfachsten Fall einer Zeitreihe muss beispielsweise klar sein, ob es sich um monatliche, quartalsweise oder jährliche Wachstumsraten handelt. Auch Zinssätze sind Wachstumsraten. Hier können Missverständnisse vermieden werden, wenn für die Verzinsungen angegeben werden, wann sie starten und wann sie enden.

Der Controller muss somit doppelt aufpassen. Einmal, dass er selbst sauber arbeitet (nobody is perfect) und zum anderen, dass er Probleme aufdeckt. Bei letzteren ist zu unterscheiden, ob sie auf Unfähigkeit, Unachtsamkeit oder Absicht begangen werden. Gerade die ausschließliche Nennung von Prozenten sollte den Verdacht der Manipulation wecken. Insofern sollte der erfahrene Controller Prozentzahlen immer nur als zusätzliche Information einsetzen bzw. akzeptieren. Das Gesamtbild sollte entscheiden.

letzte Änderung P.D.P.H. am 10.07.2023 Autor:  Dr. Peter Hoberg Bild:  Bildagentur PantherMedia / ADDRicky

Autor:in

	Herr Prof. Dr. Peter Hoberg Professor für Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Worms. Seine Lehrschwerpunkte sind Kosten- und Leistungsrechnung, Investitionsrechnung, Entscheidungstheorie, Produktions- und Kostentheorie und Controlling. Prof. Hoberg schreibt auf Controlling-Portal.de regelmäßig Fachartikel, vor allem zu Kosten- und Leistungsrechnung sowie zu Investitionsrechnung.
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