Annuitäten betriebswirtschaftlich richtig einsetzen

Controllers Trickkiste

Dr. Peter Hoberg
Für Investitionsentscheidungen reicht es nicht immer aus, nur den Kapitalwert (NPV: Net Present Value) oder den Endwert (FV: Future Value) der jeweiligen Handlungsmöglichkeiten zu ermitteln. Wenn die Planungszeiträume von Handlungsmöglichkeiten unterschiedlich sind, kann es für den Controller sinnvoll sein, Annuitäten zu ermitteln. Dies gilt auch, wenn er ausrechnen muss, wie z. B. Zusatzinvestitionen aufgrund von Umweltgesetzen ergebnisneutral in Preiserhöhungen umgesetzt werden müssen.

1. Grundlagen der Annuitäten

Mit Annuitäten sollen Einmalzahlungen, die meistens auf den Startzeitpunkt t=0 bezogen sind, auf mehrere Zeitpunkte verteilt werden. Dabei werden im Standardmodell gleich hohe Raten z. B. über 10 Jahre gefordert. Um diese auszurechnen, werden Faktoren benötigt, welche die Verteilung unter Berücksichtigung von Zinsen übernehmen.

Sie werden Annuitätenfaktoren oder auch Wiedergewinnungsfaktoren genannt. Wenn die periodischen Zahlungen nachschüssig anfallen, gilt der folgende nachschüssige Wiedergewinnungsfaktor (vgl. zum Beispiel Varnholt/ Lebefromm/Hoberg. S. 480 ff.):

WGFn = qtn * i / (qtn -1)
in Euro nachschüssige Rate
pro € zu verteilendem Betrag

Wie die Einheit des Wiedergewinnungsfaktors zeigt, gibt er an, welche Ratenhöhe man pro € zu verteilendem Betrag erhält. Beträgt er 0,1 = 10 %, dann erhält man für jeden zu verteilenden Euro 10 Cents nachschüssig. Mit diesen Wiedergewinnungsfaktoren wird der zu verteilende Beträge ZVB0 multipliziert, um zu den Annuitäten zu kommen:

Annuitätn = ZVB0 * WGFn
in €/a, jeweils am Periodenende

Annuitätn = Annuität nachschüssig
ZVB0 = Zu verteilender Betrag in t=0

Ein Beispiel aus dem Standardwerk von Brealey/Meyer/Allen (S. 169 ff.) möge die Vorgehensweise zeigen. Ein Unternehmen überlegt, welche erfolgsneutrale Preiserhöhung notwendig ist, wenn aus Umweltgründen 400 Mio$ investiert werden müssen. Implizit wird angenommen, dass die 400 Mio$ exakt in t=0 anfallen, was in der Realität praktisch nie zutreffen dürfte. Dieser Investitionsbetrag wird üblicherweise aus vielen Auszahlungen bestehen, die dann per Auf- und Abzinsung auf t=0 bezogen werden müssen (vgl. zur Vorgehensweise Hoberg (2014b), S. 1337 ff.).

Zur Vereinfachung sei angenommen, dass diese Verzinsungen bereits stattgefunden haben, so dass der Betrag auf t=0 bezogen ist. Der zu verteilende Betrag ZVB0 beträgt somit 400 Mio$. Zur Verteilung wird der nachschüssige Wiedergewinnungsfaktor ermittelt. Wenn ein Kalkulationszinssatz (wacc: weighted average cost of capital) von i = 7% gilt und eine Restlaufzeit des Produktes von tn = 25 Jahren angenommen wird, ergibt sich:

WGFn = (1,0725 - 1) / (1,0725 * 0,07)
= 0,116536 = 11,6536 %

Im Beispiel muss also für jeden US-Dollar Investition eine Preiserhöhung von 11,6536 $-Cents durchgeführt werden, um die Mehrkosten exakt weiterzugeben. Multipliziert mit dem Investitionsbetrag per t=0 erhält man die absolute Annuität:

400 Mio$ * 0,116536 = 34,324
Mio$/a, jeweils am Jahresende

Das Ergebnis des Beispiels sagt also, dass jeweils am Jahresende zusätzliche Einzahlungen von 34,324 Mio$/a erzielt werden müssen, um die Investition abzudecken.

2. Verbesserung des Ansatzes

Die so wiedergegebene Rechnung ist allerdings nicht ganz korrekt. Es wurde mit der Wahl des nachschüssigen Wiedergewinnungsfaktors implizit unterstellt, dass die Umsätze erst am Jahresende zu Einzahlungen führen. Das dürfte wohl nur im Ausnahmefall zutreffen.

In fast allen Branchen wird der Controller herausfinden, dass die durchschnittlichen Umsätze in etwa zur Jahresmitte anfallen. Die Umsätze stellen aber nur den ersten Schritt dar. Von höherem Interesse sind die aus den Umsätzen resultierenden Einzahlungen, die vor oder nach dem Umsatztermin liegen können.

Der übliche Fall besteht darin, dass die Rechnungen erst nach der Lieferung (Gefahrenübergang und damit Umsatz) bezahlt werden. Wenn ein Zahlungsziel von einem Monat gewährt wird, werden die durchschnittlichen Umsätze am 1.8. des betrachteten Jahres zu Einzahlungen.

Es gibt aber auch Branchen, welche ihre Einzahlungen vor der Leistungserbringung und damit Umsatz erhalten. So können Airlines teilweise 1 Jahr vor dem Flug die Einzahlung verbuchen, was die Kapitalbindung deutlich reduziert.

Es besteht somit das Problem der Synchronisierung der zusätzlichen jährlichen Annuitäten für die Umweltinvestitionen einerseits mit den jährlichen zusätzlichen Einzahlungen andererseits. Es ist offensichtlich, dass beide Größen auf den gleichen Vergleichszeitpunkt bezogen sein müssen. Welcher Vergleichszeitpunkt innerhalb des Jahres gewählt werden sollte, ist zunächst offen, weil jeder gemeinsame Vergleichszeitpunkt zu richtigen Entscheidungen führt. Allerdings bieten sich 3 Zeitpunkte an:
  1. Anfang des Jahres
  2. Mitte des Jahres
  3. Ende des Jahres



Da am 1. Januar eines Jahres im Unternehmen noch nicht viele Zahlungen bzw. Umsätze und Kosten angefallen sind, werden nur die Vorschläge b) und c) untersucht. Das Jahresende wird in der Investitionsrechnung als Vergleichszeitpunkt gewählt, wie es auch das obige nachschüssige Beispiel zeigt. Die Erhöhung der Preise zum Jahresende sollte 34,324 Mio$ betragen, weil dies der nachschüssigen Annuität entspricht. Problem ist aber, dass die Umsätze schon früher kommen. Wie gezeigt werden kann, fallen sie durchschnittlich in der Jahresmitte an (vgl. Hoberg (2004), S.271 ff.).

Im ersten Schritt sei angenommen, dass keine Zahlungsziele gegeben werden und die Rechnungsbeträge sofort per Lastschriftverfahren eingezogen werden. Dann fallen auch die Einzahlungen durchschnittlich zur Jahresmitte an. Da aber das Jahresende der Bezugszeitpunkt sein soll, müssen die notwendigen Einzahlungen bis zum Jahresende aufgezinst werden:

EZ6 * (1 + iM)6 = Annuität12
in Mio$/a per Jahresende (t=12)

EZ6 Einzahlung zum Zeitpunkt t = 6 (nach 6 Monaten = Jahresmitte)
iM Monatszinssatz effektiv: (1+i)(1/12) - 1 = 0,5654 %
Annuität12 Annuität am Ende des Monats 12 (Jahresende)

Neben der oben bereits berechneten nachschüssigen Annuität kann auch der Monatszinssatz ermittelt werden, so dass die Gleichung nach der Größe EZ6 aufgelöst werden kann. Es ergibt sich:

EZ6 = 34,324 / 1,03441 = 33,182
in Mio$/a zur Jahresmitte

Erst dieser Betrag darf verwendet werden, um die prozentuale Preiserhöhung zu ermitteln: 33,182/400 = 8,296 %. Durch das nicht korrekte Bezugsdatum des Jahresendes im Beispiel wären die Preise um über 1 Mio$ zu viel erhöht worden, was zu Absatzproblemen hätte führen könnten. Allerdings sind die Nettoumsätze nur in Sonderfällen – wie oben vorläufig angenommen – direkt zahlungswirksam. Also muss der Controller ermitteln, wann die Umsätze durchschnittlich zu Einzahlungen werden. Wenn dies bei einem Monat Zahlungsziel der 1.8 ist, dann trifft die Einzahlung 1 Monat nach dem einheitlichen Vergleichszeitpunkt ein. Sie muss dann – da einen Monat weniger wert – um eine Monatsverzinsung (0,5654 %) höher sein:

EZ7 = 33,182 * (1 + iM)1
= 33,182 * (1.005654)1 = 33,3701
in Mio$/a zum 31.7.

Man bräuchte also bei einem Monat Zahlungsziel eine Annuität von 33,3701 Mio$/a, die dann auf den 1.8 (oder 31.7) bezogen sind. Noch einfacher ist die Kalkulation, wenn man gleich die Mitte des Jahres als einheitlichen Vergleichszeitpunkt vorgibt. Wenn dann die Kosten und Leistungen per Auf- und Abzinsungen auf die Jahresmitte bezogen sind, muss auch die Annuität auf die Jahresmitte bezogen werden, was wiederum durch eine 6-monatige Abzinsung des nachschüssigen Betrages geschieht. Es ergibt sich wieder wie oben berechnet ein Betrag von 33,182 in Mio$/a zur Jahresmitte.

3. Unterjährige Annuitäten

Auch wenn der aus dem Lateinischen kommende Begriff der Annuität eigentlich jährlich bedeutet, können Annuitäten auch für kürzere Perioden berechnet werden. Für monatliche Annuitäten kann der Controller die Formel für den Wiedergewinnungsfaktor wie folgt modifizieren:

WGFmn = (1 + iM)tn*12 * iM / ((1 + iM)tn*12 -1)
Einheit: In $ nachschüssige Monatsrate pro $ zu verteilendem Betrag

WGFmn Monatlicher nachschüssiger Annuitäten-/Wiedergewinnungsfaktor
qm Monatlicher Zinsfaktor: (1 + iM)
tn*12 Anzahl der Monate
iM Monatlicher Zinssatz, effektiv ermittelt

Mit den Daten des Beispiels ergibt sich für den monatlichen Wiedergewinnungsfaktor ein Wert von:

WGFmn = 1,00565425*12 * 0,005654 / (1,00565425*12 -1) = 0,006931

An jedem Monatsende muss somit eine Monatsrate von 0,6931 % des zu verteilenden Vertrages abgedeckt werden. Absolut ergibt sich ein Wert von 2,7725 Mio$ an jedem Monatsende.

Aber auch in dieser Kalkulation muss der Controller einen Fehler beseitigen, der wieder mit dem zeitlichen Anfall zusammenhängt. Der nachschüssige monatliche Wiedergewinnungsfaktor ging davon aus, dass die monatlichen Zahlungen jeweils am Monatsende anfallen. Dies stimmt nicht exakt. Denn wenn die Umsätze gleich verteilt im Monat kommen, dann heißt das Monatsmitte. Wenn jetzt wieder ein Zahlungsziel von 1 Monat gilt, kommen die Zahlungen durchschnittlich in der Mitte des Folgemonats, also einen halben Monat nach dem Jahresende. Demgemäß muss noch einen halben Monat aufgezinst werden, um den richtigen Monatsbetrag zu erhalten. Dies ergibt dann 2,7803 Mio$ pro Monat.

4. Ewige Annuitäten

Die obigen Ausführungen galten für eine begrenzte Anzahl von Perioden. Es gibt aber auch wichtige Fälle, in denen man von einer sehr langen Laufzeit ausgehen kann. So leben Immobilien häufig über 50 Jahre. Unternehmen sind meistens auf "ewig" (going concern) gegründet (auch wenn das nicht immer funktioniert).

Da man zeigen kann, dass der Unterschied zwischen Wiedergewinnungsfaktoren mit sehr langer Laufzeit und ewiger Laufzeit sehr gering ist, bietet es sich an, die Wiedergewinnungsfaktoren auch für ewige Laufzeit zu betrachten, zumal die Formel sehr einfach ist:

WGF∞n = i
in $ nachschüssige Monatsrate pro $ zu verteilendem Betrag

WGF∞n steht für den ewigen nachschüssigen Annuitäten/Wiedergewinnungsfaktor. Der ewige nachschüssige Wiedergewinnungsfaktor besteht also nur aus dem Zinssatz, was bei näherer Betrachtung auch logisch ist. Denn ewige Laufzeit bedeutet, dass keine Tilgung notwendig ist, so dass es ausreicht, die Zinsen abzudecken. Für unsere Beispielsdaten ergibt sich damit:

Annuität∞n = WGF∞n * ZVB0 = 0,07 * 400 = 28 Mio$/a jeweils am Jahresende

Annuität∞n : Ewige nachschüssige Annuität

Auch in diesem Fall muss eine Korrektur durchgeführt werden wegen der Verletzung der Einheitlichkeit des Vergleichszeitpunktes. Wenn die Einzahlungen aus dem Umsatz wieder durchschnittlich am 1.8. eines Jahres kommen, kann die notwendige Annuität wieder um 5 Monate abgezinst werden, so dass sich eine deutlich niedrigere Annuität von 28 Mio$/a /1.0056545 = 27,2217 Mio$/a jeweils am 1.8. ergibt.

Der Vorteil der ewigen Annuitäten liegt für den Controller also auch darin, dass die Formeln leicht zu handhaben sind. Dies kann auch dazu eingesetzt werden, für lange Zeiträume eine schnelle Schätzung abzuleiten.

5. Schlussfolgerung

Der Einsatz von Annuitäten ist für den Controller häufig sinnvoll, muss aber sorgfältig durchgeführt werden, weil sich die zeitlichen Perspektiven von Investitionsrechnung einerseits bzw. Kosten- und Leistungsrechnung (KLR) andererseits unterscheiden. Während die Investitionsrechnung mit den üblichen nachschüssigen Faktoren das Jahresende als Bezugszeitpunkt hat, ist in der KLR die Periodenmitte der Vergleichszeitpunkt.

Es muss somit entschieden werden, welche Größen auf- bzw. abgezinst werden müssen, damit die Vergleichbarkeit hergestellt wird. In der Praxis sind häufig die Kosten und Leistungen für den Manager relevant, weil er daran gemessen wird. Diese Kosten und Leistungen fallen im Durchschnitt häufig zur Jahresmitte an. In diesem üblichen Fall müssen dann auch die Annuitäten, welche mit Hilfe von Wiedergewinnungsfaktoren aus dem zu verteilenden Betrag ermittelt werden, auf die Jahresmitten bezogen werden.

Zu Schluss sei noch darauf hingewiesen, dass man Annuitäten auch in komplizierteren Anwendungssituationen einsetzen kann, wenn z. B. die Annuitäten gleichmäßig wachsen bzw. fallen sollen oder wenn sie eine bestimmte zeitliche Struktur aufweisen sollen. Zur Bewältigung dieser anspruchsvolleren Aufgabe ist die modifizierte dynamische Stückkostenrechnung entwickelt worden (vgl. Hoberg (2014a), S. 1817 ff.).




letzte Änderung P.D.P.H. am 13.04.2023
Autor:  Dr. Peter Hoberg


Autor:in
Herr Prof. Dr. Peter Hoberg
Professor für Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Worms. Seine Lehrschwerpunkte sind Kosten- und Leistungsrechnung, Investitionsrechnung, Entscheidungstheorie, Produktions- und Kostentheorie und Controlling. Prof. Hoberg schreibt auf Controlling-Portal.de regelmäßig Fachartikel, vor allem zu Kosten- und Leistungsrechnung sowie zu Investitionsrechnung.
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