Controllers Trickkiste: Die sichere Auswahl von finanzmathematischen Faktoren

Dr. Peter Hoberg
Umfangreiche betriebswirtschaftliche Kalkulationen können unter bestimmten Bedingungen vereinfacht werden, indem Barwert- und Endwertfaktoren bzw. Wiedergewinnungsfaktoren eingesetzt werden. Dies kann dann geschehen, wenn Zahlungsreihen aus gleich hohen Zahlungen bestehen, die in gleichen zeitlichen Abständen auftreten (äquidistant).

Wenn z. B. nachschüssige monatliche Einsparungen von 100 T€1;120 für die nächsten 120 Monate geschätzt werden, können diese per heute (t=0) mit Barwertfaktoren zusammengefasst werden, um diese Einsparungen dann mit den heute notwendigen Investitionen vergleichen zu können. Die Zahlungen innerhalb einer Teilperiode (z. B. Monat) können am Monatsanfang (vorschüssig) oder am Monatsende (nachschüssig) anfallen.

Umgekehrt zu den Barwert- und Endwertfaktoren kann auch berechnet werden, wie ein großer Betrag wie z. B. die Auszahlung aus einer Lebensversicherung in eine Rente (gleichmäßige Zahlungen) umgewandelt werden kann. Außerdem kann die Zusammenfassung von Zahlungen nicht nur zum Startzeitpunkt, sondern auch zum Endzeitpunkt durchgeführt werden.


Darstellung Faktoren

Für die Barwert- und Endwertfaktoren ergibt sich dabei die folgende Übersicht:

Zeitlicher Anfall Zeitlicher Betugspunkt
Barwertfaktor t = 0 Barwertfaktor t = tn
vorschüssig
(qtn - 1) * q   0
qtn * i   0;tn-1
(qtn - 1) * q   tn
i   0;tn-1
nachschüssig
qtn - 1   0
qtn * i   1;tn
qtn - 1   tn
i   1;tn
i Periodenzinssatz
tn Anzahl Perioden
q Periodenzinsfaktor

Abb. 1: Übersicht Barwert- und Endwertfaktoren, vor- und nachschüssig

Der Standardfaktor, der auch in fast allen Lehrbüchern aufgeführt wird, ist der nachschüssige Barwertfaktor (Kasten links unten). Für ihn wie für alle anderen Faktoren werden zusätzlich die Einheiten angegeben: €0 / €1;tn (vgl. zu dieser neuen Schreibweise Hoberg (2018), S. 468 ff.). Diese Einheit macht deutlich, dass jeder Euro, der an den Enden der Teilperioden (z. B. Monat) 1 bis tn anfällt, einer bestimmten Anzahl an Euros in t=0 entspricht.

Das obige Beispiel mit den nachschüssigen monatlichen Zahlungen von 100 T€1;120 sei nun fortgeführt. Bei einem Monatszinssatz von 0,5% ergibt sich eine Barwertsumme BWS0 von (vgl. Varnholt/Hoberg/Gerhards/Wilms, S. 44 ff.):
BWS0 = BWF * Monatsrate in €0
BWS0
BWF
Barwertsumme per t = 0
Barwertfaktor gemäß Abb. 1
in €0
in €0 / €1;120
BWS0 = (1,005120 -1) / ((1,005)120 0,005) €0 / €1;120 * 100 T€1;120 in T€0
BWS0 = 90,0735 €0 / €1;120 * 100 T€1;120 = 9007,35 in T€0

Der Gegenwartswert (Barwertsumme) der Einsparungen beläuft sich also auf über 9 Mio€0. Wenn die Barwertsumme der Investitionen darunter liegt, wäre die Handlungsmöglichkeit c. p. vorteilhaft. Durch das Mitziehen der Einheiten beim Barwertfaktor und der Monatsrate kann sichergestellt werden, dass die Barwertsumme richtig ermittelt wurde. Sie muss die Einheit €0 aufweisen.

Der Barwertfaktor ist nur einer von vielen Faktoren. Sein Kehrwert ist der Wiedergewinnungsfaktor, mit dem ein großer Betrag z.B. auf die Monate verteilt wird. Alle Faktoren können jeweils für den Fall, dass die große Zahlung zum Anfang oder am Ende kommt, berechnet werden: Im Weiteren ist dann noch die Frage der Vor- oder Nachschüssigkeit zu klären. Angesichts dieser Vielfalt verwundert es nicht, wenn es teilweise zu Verwechslungen bzw. Unsicherheiten bei der Auswahl der Faktoren kommt.

Um den jeweils passenden Faktor zu finden, wurde daher ein Ablaufschema entwickelt, mit dem der Leser einfach den jeweils passenden Faktor ableiten kann. Er ergibt sich nach der Beantwortung von 3 Fragen.

Prüfschema

Ausgangspunkt ist die Überlegung, ob überhaupt Faktoren eingesetzt werden dürfen. Dies ist der Fall, wenn entweder gleichmäßige Zahlungen als Daten angegeben sind (siehe monatliche Einsparung aus dem obigen Beispiel) oder ob gleichmäßige Zahlungen berechnet werden sollen (als Ergebnis). Dafür könnte ein Beispiel sein, dass für einen Kaufpreis gleichmäßige Leasingraten berechnet werden sollen. Dann ist der zu finanzierende Betrag bekannt und die gleichmäßigen Monatsraten stellen das Ergebnis der Berechnung dar. Wenn Faktoren eingesetzt werden dürfen, läuft die Auswahl wie in der folgenden Abb. 2 dargestellt:

Auswahl_Faktoren_Abbildung3.jpg
Abb. 2: Ablaufschema zur Bestimmung des passenden Faktors

Frage 1 (Gleichmäßige Zahlungen sind Daten oder Ergebnisse?)

Wenn die gleichmäßigen Zahlungen Daten sind (also schon bekannt sind), wird in den linken Ast der Abb. 2 verzweigt.

Frage 2 links (Zusammenfassung per Anfang oder Ende?)

Die gleichmäßigen Zahlungen sollen zusammengefasst werden, wobei dies zum Startzeitpunkt/Anfang (t=0) oder zum Endzeitpunkt (t=tn) berechnet werden kann. Wird der Anfang gewählt, gilt wiederum der linke Ast, der zum Barwertfaktor führt. Bei Bezug auf das Ende gilt der rechte Ast, mit dem der Endwertfaktor EWF ausgewählt wird. Er kann berechnet werden, indem der Barwertfaktor auf das Ende hochgezinst wird, mithin mit qtn multipliziert wird.

Frage 2 rechts (Steht der vorhandene Kapitalbetrag am Anfang oder am Ende?)

Der große Betrag, aus dem die gleichmäßigen Zahlungen abgeleitet werden sollen, kann am Startzeitpunkt/Anfang (t=0) oder zum Endzeitpunkt (t=tn) zur Verfügung stehen. Ist es am Anfang vorhanden, gilt der linke Ast, der zum Wiedergewinnungsfaktor auf Barwertebene führt. Er kann gebildet werden, indem der Kehrwert des Barwertfaktors berechnet wird.

Kommt der große Betrag erst am Ende, gilt der rechte Ast, mit dem der Wiedergewinnungsfaktor auf Endwertbasis WGFEW ausgewählt wird. Er kann z. B. berechnet werden, indem der Kehrwert des Endwertfaktors gebildet wird.

Frage 3 (Vor- oder Nachschüssigkeit?)

In der letzten Stufe muss noch berücksichtigt werden, ob die gleichmäßigen Zahlungen am Anfang oder Ende einer Teilperiode (z. B. Monat) anfallen. Die üblichen Faktoren gehen von der Nachschüssigkeit aus. So fallen Personalkosten meistens am Ende des Monats an, weil zu diesem Zeitpunkt das Geld an die Mitarbeiter überwiesen wird. Wird schon am Monatsanfang gezahlt, so muss das Unternehmen die Gehälter bereits einen Monat früher zur Verfügung stellen und somit auch einen Monat früher finanzieren. Die Belastung steigt somit um die Verzinsung eines Monats. Also wird der nachschüssige Barwert- bzw. Endwertfaktor mit dem Monatszinsfaktor q multipliziert, um zu dem vorschüssigen zu kommen.

Aus Sicht des Mitarbeiters ist die vorschüssige Gehaltszahlung erfreulich, weil er bereits am Monatsanfang über das Geld verfügen. Der Betrag ist somit eine Monatsverzinsung mehr wert. Umgekehrt sieht es für die Wiedergewinnungsfaktoren aus. Wenn z. B. eine Rente schon am Monatsanfang gezahlt werden muss, dann kann der Rentenzahler das Geld einen Monat weniger anlegen. Also muss durch q dividiert werden, um die Verringerung der Rente abzubilden.

Die bei allen Faktoren ergänzten Einheiten weisen noch einen schönen Vorteil auf. In ihrem Nenner finden sich die gegebenen Größen und im Zähler die gesuchten. Wenn ein Wiedergewinnungsfaktor auf Endwertbasis die Einheit in €1;120 / €0 besitzt, dann zeigt das auch, dass das große Kapital in t=0 vorhanden ist (Nenner), und dass die gleichmäßigen Raten von Monatsende 1 bis Monatsende 120 gesucht werden (Zähler).

Schlussbemerkung

Es ist zu hoffen, dass mit dem vorgestellten Ablaufschema jeder Controller für seine vielfältigen Aufgaben den jeweils richtigen Faktor findet. Wenn er dann seine Ergebnisse auch noch mit der neuen Einheitenschreibweise überprüfen kann, sollte er gut gerüstet sein für alle Arten von Kalkulationen mit gleichmäßigen Zahlungen.




letzte Änderung P.D.P.H. am 12.04.2023
Autor:  Dr. Peter Hoberg
Bild:  Bildagentur PantherMedia / AndreyPopov


Autor:in
Herr Prof. Dr. Peter Hoberg
Professor für Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Worms. Seine Lehrschwerpunkte sind Kosten- und Leistungsrechnung, Investitionsrechnung, Entscheidungstheorie, Produktions- und Kostentheorie und Controlling. Prof. Hoberg schreibt auf Controlling-Portal.de regelmäßig Fachartikel, vor allem zu Kosten- und Leistungsrechnung sowie zu Investitionsrechnung.
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