Controllers Trickkiste: Umrechnungen zwischen Jahres- und Monatsraten

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Unternehmen und auch Privatleute haben in einigen Fällen die Möglichkeit, zwischen monatlicher und jährlicher Zahlungsweise zu wählen. Dies gilt z. B. für Versicherungsbeiträge, bei denen die Versicherungsunternehmen von jährlich vorschüssiger Zahlung ausgehen, aber gegen Aufpreis auch monatliche Zahlungen akzeptieren. Der Versicherungsnehmer muss also berechnen, was für ihn besser ist. Dabei muss er auch berücksichtigen, ob die Jahres- bzw. Monatsraten jeweils vorschüssig (Monats- bzw. Jahresanfang) oder nachschüssig (Monats- bzw. Jahresende) anfallen.

Auch im Einkauf kann manchmal entschieden werden, ob der Jahresbedarf sofort bezahlt wird oder in vor- oder nachschüssigen Monatsraten. Je früher bezahlt wird, um so besser ist es für den Zahlungsempfänger. Daher müssen die Zinseffekte bei den Umrechnungen berücksichtigt werden. Dies wird im Folgenden näher ausgeführt, wobei auf eine präzise Darstellung der Zeitpunkte geachtet wird.

1. Grundlagen

Eine jegliche zeitliche Verschiebung von Zahlungen führt zu Zinseffekten, die hinsichtlich ihrer Vorteilhaftigkeit zu beurteilen sind. Zur Bewertung wird ein Zinssatz benötigt, der als Mischzinssatz von Eigen- und Fremdkapital abzuleiten ist. Im Englischen heißt er Weighted Average Cost of Capital (Wacc). Je nach Einsatzzweck erfolgt eine unterschiedliche Gewichtung der Eigen- und Fremdkapitalanteile (vgl. zu den Details beispielsweise Varnholt/Hoberg/Gerhards/Wilms, S. 41 ff.).

Für die folgenden Beispiele sei der Wacc mit 0,5 Prozent pro Monat angenommen, was 1,005¹²-1 = 6,168 Prozent pro Jahr entspricht. Es sei darauf hingewiesen, dass die Zinssätze auch mit Einheiten versehen werden können. Wenn t als Monatsindex definiert wird, ist die Einheit des Monatszinssatzes €_t+1 / €_t. Für jeden Euro, der in t investiert wird, erhält man 0,5 % Zinsen in t+1 zurück (vgl. zu dieser neuen präziseren Schreibweise Hoberg (2018). S. 468 ff.).

Wenn der Zinssatz richtig gewählt wurde, dann ist der Entscheidungsträger indifferent, ob er in t=0 100 €₀ erhält oder in t=1 100,50 €₁. Allgemein ausgedrückt bedeutet dies: 100 €_t  in t oder 100 * 1,005^∆t €_t+∆t. in t+∆t. Es handelt sich dann um äquivalente Transformationen. Wenn Monatsraten mit diesen Zinssätzen auf das Jahresende hochgezinst werden, so entsteht eine Gleichwertigkeit zwischen den Monatsraten und der Einmalzahlung am Jahresende.

Dies möge das folgende Beispiel zeigen. Gegeben seien Monatsraten von je 1000 €, und zwar einmal vorschüssig 1000 €_0;11 und einmal nachschüssig 1000 €_1;12. Ihr jeweiliger Wert soll per Jahresanfang ermittelt werden. Dies entspricht der Fragestellung, wie Monatsraten durch eine Einmalzahlung am Jahresanfang abgelöst werden können. Um eine Gleichwertigkeit zu erzielen, muss jede Monatsrate entsprechend ihrem Abstand auf den Jahresanfang abgezinst werden, was in Abb. 1 durchgeführt ist.

Letzte Änderung W.V.R am 22.07.2021
Autor(en): Dr. Peter Hoberg