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Annuitätentilgung

Sergej Maurer
In der Annuitätentilgung bleibt die Annuität für jede Periode konstant, d.h. dass die Zinsbelastung sinkt, während die Tilgungssumme steigt. Der erste Schritt ist die Annuität zu bestimmen.

Die Definitionen der Symbole finden Sie unter Symbolbezeichnungen>>.

Annuität:

A = S0 × qn × q – 1
qn – 1

Das weitere Vorgehen soll am folgenden Beispiel erklärt werden.

Beispiel:

Sie nehmen einen Kredit von 50.000 € zu 10% p.a. für 5 Jahre auf.
A = 50.000 × 1,15 × 1,1 – 1
1,15 – 1

A = 13.189,87 €


Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:

Jahr Restschuld zu Beginn
des Jahres 		Zinsen Tilgung Annuität Restschuld zu Ende
des Jahres
  (1) (2)
(2) = (1) × i
 (3)
(3) = (4) – (2)
 (4)
 (5)
(5) = (1) – (3)
1 50.000,00 € 5.000,00 € 8.189,87 € 13.189,87 € 41.810,13 €
2 41.810,13 € 4.181,01 € 9.008,86 € 13.189,87 € 32.801,26 €
3 32.801,26 € 3.280,13 € 9.909,75 € 13.189,87 € 22.891,52 €
4 22.891,52 € 2.289,15 € 10.900,72 € 13.189,87 € 11.990,79 €
5 11.990,79 € 1.199,08 € 11.990,79 € 13.189,87 € 0,00 €

Die exakten Zinsen, Tilgung und Restschuld im k-ten Jahr lassen sich mit folgenden Formeln berechnen, sollte ein Tilgungsplan nicht zur Verfügung stehen.

Zinsbetrag
Zk = S0 × i × qn – qk–1
qn – 1

Tilgungsbetrag
Tk = S0 × i × qk–1
qn – 1

Restschuld
Sk = S0 × qn – qk
qn – 1

Unterjährliche Annuitätentilgung

In unterjährlicher Annuitätentilgung erfolgt die Tilgung nicht einmalig am Ende des Jahres, sondern mehrmals im Jahr. Unterjährliche Annutitätentilgung kann auftreten mit:
  1. unterjährlicher Zinsbelastung
  2. unterjährlicher Zinsbelastung und unterschiedlichen Tilgungsperioden
  3. Zinsbelastung am Ende des Jahres

1. Mit unterjährlicher Zinsbelastung

Das obige Beispiel wird hierfür fortgesetzt und um eine vierteljährliche Tilgung und Zinsbelastung ergänzt.

Annuität

Zuerst muss die unterjährliche Annuität (a) berechnet werden.
Annuitätentilgung.png

Annutitätentilgung_ausgefüllt.png

am = 3.207,36 €

Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:

Jahr Viertel–
jahr
 Restschuld zu Beginn
des Vierteljahres
 Zinsen Tilgung Annuität Restschuld zu Ende
des Vierteljahres
    (1) (2)
(2) = (1) × i/m
 (3)
(3) = 4 – 2
 (4)
 (5)
(5) = (1) – (3)
1 1 50.000,00 € 1.250,00 € 1.957,36 € 3.207,36 € 48.042,64 €
  2 48.042,64 € 1.201,07 € 2.006,29 € 3.207,36 € 46.036,35 €

3 46.036,35 € 1.150,91 € 2.056,45 € 3.207,36 € 43.979,91 €
  4 43.979,91 € 1.099,50 € 2.107,86 € 3.207,36 € 41.872,05 €
2 1 41.872,05 € 1.046,80 € 2.160,56 € 3.207,36 € 39.711,49 €
     ... ... .... ... ... ... ...
4 4 14.900,83 € 372,52 € 2.834,84 € 3.207,36 € 12.065,99 €
5 1 12.065,99 € 301,65 € 2.905,71 € 3.207,36 € 9.160,29 €

2 9.160,29 € 229,01 € 2.978,35 € 3.207,36 € 6.181,94 €

3 6.181,94 € 154,55 € 3.052,81 € 3.207,36 € 3.129,13 €
  4 3.129,13 € 78,23 € 3.129,13 € 3.207,36 € – €

2. Mit unterjährlicher Zinsbelastung und unterschiedlichen Tilgungsperioden
In dieser Variante wird eine zinsperiodenkonforme Annuität (am) und eine unterjährliche Periodenannuität (a) benötigt. Für diesen Fall wird das Beispiel mit Quartalszinsen und einer monatlichen Tilgung versehen.

Annuität am
Annuitätentilgung.png

Annutitätentilgung_ausgefüllt.png

am = 3.207,36 €

Annuität a
Annuitäten_2.png

Annuitäten_2Ausgefüllt.png

a = 1.060,28 €

Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:

Jahr Viertel–
jahr
 Restschuld zu Beginn
des Vierteljahres
 Monats–
zinsen 		Quartals–
zinsen
 Monats–
tilgung
 Monats–
annuität
 Restschuld zu Ende des
Vierteljahres
 
(1) (2)
(2) = (1)× i/m
 (3) (4)
(4) = (5) – (3)
 (5) (6)
(6) = (1) – (4)
1 1
2
3
 50.000,00 €
48.939,72 €
47.879,43
 416,67 €
407,83 €
399,00 €
 } 1.223,49 €
 1.060,28 €
1.060,28 €
– 163,21 €
 1.060,28 €
1.060,28 €
1.060,28
 48.939,72 €
47.879,43 €
48.042,64 €

4
5
6
 48.042,64 €
46.982,36 €
45.922,08 €
 400,36 €
391,52 €
382,68 €
 } 1.174,56 €
 1.060,28 €
1.060,28 €
– 114,28 €
 1.060,28 €
1.060,28 €
1.060,28 €
 46.982,36 €
45.922,08 €
46.036,35 €
... ... ... ... ... ... ... ...
5 7
8
9
 6.181,94 €
5.121,65 €
4.061,37 €
 51,52 €
42,68 €
33,84 €
 } 128,04 € 1.060,28 €
1.060,28 €
932,24 €
 1.060,28 €
1.060,28 €
1.060,28 €
 5.121,65 €
4.061,37 €
3.129,13 €

10
11
12
 3.129,13 €
2.068,85 €
1.008,56 €
 26,08 €
17,24 €
8,40 €
 } 51,72 € 1.060,28 €
1.060,28 €
1.008,56 €
 1.060,28 €
   1.060,28 €
1.060,28 €
 2.068,85 €
1.008,56 €
– €

3. Ohne unterjährliche Zinsbelastung (Zinsabrechnung am Ende des Jahres)

Annuität

Zuerst wird die unterjährliche Annuität (a) berechnet, dazu wird die Jahresannuität (A) benötigt.
a = A
m + i × (m – 1)


2
a = 13.189,87
4 + 0,1 × (4 – 1)


2

a = 3.178,28 €

Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:

Jahr Viertel–
jahr
 Restschuld zu Beginn
des Vierteljahres
 Quartals–
zinsen 		Jahres–
zinsen
 Tilgung
 Quartals–
annuität
 Restschuld zu Ende des
Vierteljahres
 
(1) (2)
(2) = (1)× i/m
 (3) (4)
(4) = (5) – (3)
 (5) (6)
(6) = (1) – (4)
1 1
2
3
4
 50.000,00 €
46.821,72 €
43.643,44 €
40.465,15 €
 1.250,00 €
1.170,54 €
1.091,09 €
1.011,63 €
 } 4.523,26 €
 3.178,28 €
3.178,28 €
3.178,28 €
– 1.344,98 €
 3.178,28 €
3.178,28 €
3.178,28 €
3.178,28 €
 46.821,72 €
43.643,44 €
40.465,15 €
41.810,13 €
2
...
4
 1
...
4
 41.810,13 €
...
13.356,68 €
 1.045,25 €
...
333,92 €
 } 1.812,41 €
 3.178,28 €
...
1.365,87 €
 3.178,28 €
...
3.178,28 €
 38.631,85 €
...
11.990,81 €
5 1
2
3
4
 11.990,81 €
8.812,53 €
5.634,25 €
2.455,97 €
 299.77 €
220,31 €
140,86 €
61,40 €
 } 722,34 € 3.178,28 €
3.178,28 €
3.178,28 €
2.455,94 €
 3.178,28 €
3.178,28 €
3.178,28 €
3.178,28 €
 8.812,53 €
5.634,25 €
2.455,97 €
0,02 €

Die exakten Zinsen und Restschuld im k-ten Jahr lassen sich mit folgenden Formlen berechnen, sollte ein Tilgungsplan nicht zur Verfügung stehen. Wobei die Restschuld nur zu Beginn des Jahres mit Hilfe der Schuldsumme des vorherigen Jahres bestimmt werden kann und die Zinsen, wenn die Restschuld bekannt ist.

Zinsbetrag
Zk = i × ( Sk – a × m – 1 )
2

n – Anzahl der Jahre
m – Anzahl unterjährlicher Perioden
k – Augewähltes Jahr
x – Ausgewählte unterjährliche Periode

Restschuld
Sk = Sk–1 – m × a + i × ( Sk–1 – a × m – 1 )
2

Zur Formelübersicht: Finanzmathematik >>




letzte Änderung Sergej Maurer am 19.06.2023

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12.10.2010 10:38:07 - Gast

zu: Sie nehmen einen Kredit von 50000,-€ zu 10% p.a. für 5 Jahre auf.

Was wäre, wenn das Beipiel so abgeändert wird
Sie nehmen einen Kredit von 50000 € zu 10% p.a. für 5 Jahre auf. Die ersten 2 Jahre bleiben Tilgungsfrei.
Berechne ich jetzt die konstante Annuität für 3 Jahre und zahle in den ersten 2 Jahren nur die Zinsen? Aber dann handelt es sich ja nicht mehr um eine jährlich konstante Annuität, oder. Wenn ich die Annuität jedoch für 5 Jahre berechne, die Tilgung in den ersten 2 Jahren auf o setze und die Restschuld bis zum Jahr 3 bei 50000 € bleibt, würde ich zur vollständigen Tilgung 7 Jahre brauchen.
Finde sowas sollte noch ergänzt werden
[ Zitieren | Name ]

28.01.2016 06:29:20 - Gast

Ich vermute, dass das 2. besipiel auf einer Tilgung zum Ende des Monats basiert. Bei einer Tilgung zum 1. des jeweiligen Monats müsste die Restschuld doch bereits vermindert sein, oder habe ich da einen Denkfehler?
[ Zitieren | Name ]

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