Die lineare Kostenfunktion und ihre Bedeutung in der Praxis

In der Kostenrechnungs- und Controlling-Literatur wird die so genannte Lineare Kostenfunktion nicht nur sehr häufig erwähnt, sie ist auch Grundvoraussetzung für viele der dort gezeigten Verfahren. So hat sie u. a. wesentliche Bedeutung im Rahmen des Umsatzkostenverfahrens, für Prognoserechnungen, die Break-Even-Analyse und die (Soll-Ist-)Abweichungsanalyse. Dabei geht es konkret um die Annahme, dass sich variable Kosten proportional zu einer bestimmten Beschäftigungsgröße entwickeln.

In dem folgenden Beitrag wird die lineare Kostenfunktion näher erläutert und anschließend anhand von konkreten Beispielen auf ihre Bedeutung in der Praxis eingegangen.

1. Lineare Kostenfunktion, erläutert an einem Praxis-Beispiel

Eine Kostenfunktion kann als Term oder grafisch in einem Koordinatensystem dargestellt werden, wobei die x-Achse eine passende Beschäftigungsgröße darstellt und auf der y-Achse die Kosten abgetragen werden. Eine der typischen Darstellungen von Kostenfunktionen ist die Darstellung der Gesamtkosten-funktion mit konstanten fixen Kosten und proportionalen variablen Kosten. In diesem Beitrag zur linearen Kostenfunktion wird nur der variable Teil der Kostenfunktion betrachtet. 

Unter den verschiedenen möglichen Beschäftigungsgrößen (Werte auf der x-Achse) haben sich in Theorie und Praxis die folgenden Größen etabliert:

• Produktionsmenge/Absatzmenge
• Arbeitszeit/Maschinenlaufzeit
• Kapazitätsauslastung
• Umsatz,

wobei die beiden Mengengrößen nur im Einproduktunternehmen sinnvoll einsetzbar sind. Im Mehrproduktunternehmen würde es sich bei „der“ Menge um eine bestimmte Mengenkombination der verschiedenen Produkte des Unternehmens handeln (Produktsortiment); und diese wird in der Regel leichter über den Gesamtumsatz abgebildet. Der Umsatz als Beschäftigungsgröße beinhaltet sowohl eine Mengen- als auch eine (Verkaufs-)Preiskomponente, so dass bei der Darstellung unterschiedlicher Beschäftigungssituationen unterschieden werden muss, ob es sich wirklich um eine Beschäftigungs-(Mengen-)Veränderung oder um eine (zumindest teilweise) Preisveränderung handelt. Dazu später mehr.

Die folgende Abbildung zeigt die Entwicklung der Umsatzerlöse und der Umsatzkosten über die Jahre 2016 bis 2025 des BMW Konzerns. Man kann deutlich erkennen, dass der Verlauf der beiden Größen über die 10 Jahre hinweg sehr ähnlich war. Die Vermutung einer proportionalen Abhängigkeit zwischen den beiden Größen liegt also nahe. Bei den Umsatzkosten scheint es sich demnach tatsächlich um variable Kosten zu handeln, die sich möglicherweise linear (proportional) zu den Umsatzerlösen entwickeln.


 
Um das zu überprüfen, stellt man die Umsatzkosten (y-Achse) in Abhängigkeit von den Umsatzerlösen (x-Achse) dar; daraus ergibt sich folgendes Bild.


 
Die Punkte für die x/y-Koordinaten (Umsatzerlöse/Umsatzkosten) für die 10 Jahre wurden absichtlich nicht miteinander verbunden, weil damit eine Stetigkeit der Kostenfunktion unterstellt würde, die nicht zwangsläufig vorliegen muss. 

Legt man zusätzlich eine Trendgerade über die Punkte, dann erkennt man, dass diese sehr nah an den realen Koordinatenpunkten liegt. Das Bestimmtheitsmaß r² in Höhe von 0,9855 zeigt, dass die Trendgerade die Punkte sehr gut trifft. Inhaltlich bedeutet das, dass sich die Umsatzkosten des BMW Konzerns über die betrachteten 10 Jahre tatsächlich nahezu proportional zum Umsatz entwickelt haben.

Das mag noch nicht so überraschend sein, wenn man weiß, dass die Umsatzkosten und die Umsatzerlöse beim hier vorliegenden Umsatzkostenverfahren beide auf der Grundlage der Absatzmengen ermittelt werden und diese somit auf die Umsatzkosten den gleichen Einfluss haben wie auf die Umsatzerlöse. Tatsächlich spielen aber bei beiden Größen (Umsatzkosten und Umsatzerlöse) auch mögliche Preisveränderungen (Einkaufspreise und Verkaufspreise) eine Rolle, und diese laufen nicht zwangsläufig in die gleiche Richtung. Außerdem könnte eine Veränderung des Produktsortiments von BMW ebenfalls zu einer Verschiebung des Verhältnisses zwischen Umsatzkosten und Umsatzerlösen beitragen. Und nicht zuletzt könnte hier eine so genannte Verbrauchsabweichung vorliegen (s. Punkt 4).

Wenn sich die Umsatzkosten wie hier dennoch nahezu proportional zu den Umsatzerlösen entwickelt haben, dann kann man gut mit der Annahme einer linearen Kostenfunktion arbeiten und diese in den verschiedenen Methoden aus Kostenrechnung und Controlling einsetzen, wie z. B. in den folgenden: 

• Prognosen/Hochrechnungen/Planungen (s. Punkt 2)
• Break-Even-Analysen (s. Punkt 3)
• Soll-Ist-Vergleiche (Verbrauchsabweichung) (s Punkt 4)

2. Prognosen, Hochrechnungen, Planungen

Die Abbildungen in diesem Beitrag wurden alle mit dem Programm MS Excel erstellt. Excel errechnet die Trendfunktion selbst mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate und gibt u.a. auch den Funktionsterm für diese Trendgerade an. Diese zeigt im Fall der Umsatzkostenfunktion von BMW eine Steigung der Funktion von 0,8435. Das bedeutet, die Trendgerade suggeriert, dass die Umsatzkosten von BMW „immer“ jeweils 84,35 % der Umsatzerlöse ausmachen. Diesen Wert kann man sehr gut für Forecasts und Planungen verwenden, wenn man für geschätzte zukünftige Umsatzerlöse die Umsatzkosten schätzt, indem man jeweils 84,35 % der Umsatzerlöse ansetzt. Bei geschätzten 100.000 Mio.€ Umsatz wäre also mit 84.350 Mio.€ Umsatzkosten zu rechnen, bei 200.000 Mio.€ Umsatz mit 168.700 Mio.€ Umsatzkosten usw.

Ganz so einfach ist es natürlich nicht, da zum einen dieser Wert durch eventuelle Ausreißer verzerrt sein könnte; die Methode der kleinsten Quadrate reagiert relativ stark auf Ausreißer. Es kann aber auch einfach sein, dass sich der Trend der 10 Jahre nicht auf die Zukunft übertragen lässt und man sich z. B. eher an dem letzten Wert (z. B. 2025 mit 85 %) orientieren müsste, der aber hier gar nicht weit vom Trendwert entfernt ist.

Die Entwicklung der prozentualen Anteile der Umsatzkosten an den Umsatzerlösen über die 10 Jahre ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Der Abstand zwischen dem niedrigsten (80 %) und dem höchsten Wert (86 %) beträgt immerhin 6 Prozentpunkte, wobei aber der höchste Wert auf das Jahr 2020 (Corona) entfällt und vermutlich mit gutem Gewissen als Ausreißer interpretiert werden kann. Auf jeden Fall sollte bei der Wahl des Prozentsatzes für Hochrechnungen und Planungen auf die neuesten Erkenntnisse zurückgegriffen werden, die der planenden Person vorliegen.


 
Ein wichtiger Aspekt ist zusätzlich zu beachten. Es wurden hier die gesamten Umsatzkosten des Konzerns abgebildet. Dieser besteht aber aus drei unterschiedlichen Segmenten (Automobile, Motorräder und Finanzdienstleistungen), die unterschiedliche Umsatzkostenanteile aufweisen und hier in einen Durchschnittswert „gepresst“ wurden. Auch wenn sich daraus offenbar trotzdem eine nahezu lineare Kostenfunktion ableiten lässt, ist die Gefahr einer Fehleinschätzung bei Veränderungen des Produktsortiments von BMW umso größer, je umfangreicher die Zahl der einbezogenen Produkte ist.

Will man es genauer wissen, muss man diese Analyse für jedes der drei Segmente einzeln durchführen oder ggf. sogar innerhalb der Segmente für verschiedene Produktgruppen, z. B. getrennt für E-Automobile und Automobile mit fossilem Antrieb etc.

3. Break-Even-Umsatz-Berechnung

Auch für die Grundform der Break-Even-Analyse wird das Vorhandensein einer linearen Kostenfunktion vorausgesetzt. Dabei zeigt der Break-Even-Umsatz an, ab welchem Umsatz ein Unternehmen in die Gewinnzone kommt bzw. wie viel Umsatz ein Unternehmen verlieren darf, bevor es in die Verlustzone gerät.

Die übliche Formel für die Berechnung des Break-Even-Umsatzes (BEU) lautet:

Der Deckungsgrad für das Gesamtunternehmen wird ermittelt, indem der gesamte Deckungsbeitrag durch den gesamten Umsatz dividiert wird. Der Deckungsbeitrag ist die Differenz zwischen Umsatz und variablen Kosten, also hier den Umsatzkosten. Für das Jahr 2025 ergibt sich für den BMW-Konzern daher die folgende Rechnung:

Um die fixen Kosten zu bestimmen, kann man der Einfachheit halber die Differenz zwischen Deckungsbeitrag und Konzernergebnis vor Steuern (10.236 Mio.€ im Jahr 2025) verwenden, das sind 10.359 Mio.€ (rote Linie in der folgenden Abbildung).

Der Break-Even-Umsatz lautet dann:

Das entspricht dem Schnittpunkt der Geraden für die Umsatzerlöse (blaue Linie in der folgenden Abbildung) mit der Geraden für die Gesamtkosten (graue Linie).


 
Inhaltlich bedeutet das, BMW hätte 2025 nur 67.135 Mio.€ Umsatz (gelbe Linie in der Abbildung) erzielen müssen, um keinen Verlust zu erwirtschaften, d. h. ein Konzernergebnis vor Steuern von Null zu erzielen. Das erscheint sehr niedrig im Vergleich zum tatsächlichen Umsatz von 133.453 Mio.€. Und das ist es auch. Der Grund dafür ist, dass BMW im Jahr 2025 ein Konzernergebnis vor Steuern von fast 8 % vom Umsatz erzielt hat und die zusätzlich zu den Umsatzkosten angefallenen (fixen) Kosten relativ gering waren.

Aber: Mit Verwendung der o. g. Formel wird eine proportionale Abhängigkeit der Umsatzkosten vom Umsatz unterstellt, gleichgültig bei welcher Umsatzhöhe, also auch bei einer (fast) Halbierung des Umsatzes von 133.453 auf 67.135 Mio.€. Innerhalb eines begrenzten Beschäftigungsintervalls trifft die Linearität offenbar zu (s. Abbildungen oben). Ob man allerdings die Trendgerade einfach so weit nach links unten verlängern „darf“, dass diese auch für den halbierten Umsatz noch gilt, scheint zumindest fraglich (s. folgende Abbildung). Für die „unendliche“ Verlängerung nach rechts oben gilt das Gleiche. Bewegt man sich mit dem Umsatz über eine Kapazitätsgrenze hinaus, werden sich nicht nur die fixen Kosten erhöhen, sondern auch die variable Kostenfunktion kann sich verändern. 


 
Die Umsatzerlöse (also die Beschäftigung) von BMW in den 10 Jahren schwankten immerhin zwischen rund 94.000 und 155.000 Mio.€, d. h. das hier betrachtete Beschäftigungsintervall ist nicht gerade klein und die Linearität konnte trotzdem aufgezeigt werden. Man sollte demnach zwar nicht die (mathematisch korrekte) Schlussfolgerung ziehen, dass BMW 50 % seines Umsatzes verlieren könnte, ohne in die Verlustzone zu geraten. Aber dass die „Sicherheitszone“ relativ groß ist, bestätigen die Berechnungen durchaus. Will man sich von Seiten des Vorstands nicht mit dem Blick auf die Gewinnschwelle (0) zufrieden geben, kann man auch einen Mindestgewinn in die Formel einbauen. Sollte BMW also z. B. mit den 10.359 Mio.€ nicht zufrieden sein, sondern stattdessen ein Konzernergebnis vor Steuern von 12.000 Mio.€ anstreben, setzt man diesen Betrag einfach zusammen mit den fixen Kosten in die Gleichung ein wie folgt:

Aus Sicht des Jahres 2025 müsste BMW also seinen Umsatz um rund 8 % steigern, um auf den Wunschgewinn von 12.000 Mio.€ zu kommen.

4. Soll-Ist-Vergleich (Ermittlung der Verbrauchsabweichung) 

Um nach Ablauf eines Planzeitraums sinnvoll Abweichungen zu ermitteln und zu analysieren, bietet sich der so genannte Soll-Ist-Vergleich an, der auch wie die anderen geschilderten Methoden die lineare Kostenfunktion als Grundlage vorsieht.

Jede Abweichung von der erwarteten Proportionalität wird beim Soll-Ist-Vergleich als „Verbrauchsabweichung“ interpretiert. Das heißt, man unterstellt, dass z. B. mehr (oder weniger) Material pro Stück eines Produktes verbraucht wurde, als in der Planung vorgesehen – Abweichung von der Rezeptur oder Stückliste.

Angenommen, BMW hätte 2024 den damals erreichten Umsatzkostenanteil von 84 % als zukünftigen Trend in der Planung vorgesehen und es kam dann aber 2025 zu einem tatsächlichen Anteil von 85 %, so wäre dieser zusätzliche Prozentpunkt genau das, was als Verbrauchsabweichung bezeichnet würde.

Konkret für das Beispiel: Angenommen BMW hätte 2024 einen Umsatz für 2025 von 140.000 Mio.€ geplant, dann wären bei Ansatz der 84 % Umsatzkostenanteil (2024) Umsatzkosten in Höhe von 117.600 Mio.€ erwartet/geplant worden. Tatsächlich lagen diese 2025 aber nur bei 112.858 Mio.€. Das könnte man jetzt feiern, tatsächlich ist aber ja der geplante Umsatz nicht erreicht worden und daher muss man mit niedrigeren Umsatzkosten rechnen als geplant, wenn man eine lineare Kostenfunktion unterstellt.

Der Umsatz lag tatsächlich bei 133.453 Mio.€. Die 84 % Umsatzkostenanteil davon sind nur 112.101 Mio.€ zu erwartende Umsatzkosten. Mit dieser Größe (genannt: Sollkosten) und nicht mit den Plankosten müssen die tatsächlichen Kosten verglichen werden: 112.858 Mio.€ - 112.101 Mio.€ sind immerhin 757 Mio.€ „zu viel“. Das sind Mehrkosten, die bei dem niedrigeren Umsatz nicht zu erwarten waren. Die rote Linie in der folgenden Abbildung (Sollkostenfunktion) schneidet die senkrechte blaue Linie (Ist-Umsatz) da, wo eigentlich die Umsatzkosten zu erwarten gewesen wären. Tatsächlich liegen sie aber auf Höhe der waagerechten grauen Linie (Istkosten). Die Differenz dazwischen von 757 Mio.€ sind die Verbrauchsabweichung.


 
Auch hier sind wieder mehrere Aspekte zu bedenken: Es wird davon ausgegangen, dass eigentlich Linearität herrschen müsste. Jede Abweichung von der Linearität wird als Verbrauchsabweichung interpretiert, also z. B. ein erhöhter Ausschuss oder eine andere Art von Abweichung von den vorgegebenen Stücklisten. Tatsächlich können sich aber auch die in den Umsatzkosten enthaltenen Einkaufspreise verändert haben oder der Umsatz ist nicht alleine durch eine Mengenänderung – also Beschäftigungsveränderung – zurückgegangen, sondern durch Verkaufspreisreduktionen. Und auch das Produktsortiment, das den durchschnittlichen Umsatzkostenanteil von 84 % liefert, könnte sich von 2024 auf 2025 verändert haben.

Also ist die Methode sinnlos? 

Nein, das ist sie nicht! Sie muss – wenn man es genauer wissen will – auf Segmente bzw. Produkte „heruntergebrochen“ werden, um eventuelle Mengenverschiebungen im Produktsortiment zu berücksichtigen; und eventuelle Einkaufs- oder Verkaufspreisveränderungen müssen eliminiert werden (Preisbereinigung). Die Methode ist also zwar nicht ganz so einfach, wie sie zunächst wirkt, aber sie gibt wichtige Hinweise darauf, was im Unternehmen nicht planmäßig gelaufen ist und warum.

5. Übertragung auf Handel und Dienstleistungen

Die geschilderten Methoden und die lineare Kostenfunktion lassen sich nicht nur für die Produktionsbranche anwenden, sondern sie lassen sich auch auf den Handel und die Dienstleistungsbranche übertragen. Als Beispiel für die Dienstleistungsbranche sei hier der Umsatzerlöse/Umsatzkosten-Verlauf über 10 Jahre des Finanzdienstleistungssegments von BMW gezeigt (s. folgende Abbildung).



Erst recht sind die Methoden auf den Handel übertragbar. Dort ist die Beziehung zwischen variablen Kosten = Einkauf) und Umsatz (= Verkauf) noch besser linear abbildbar als in anderen Branchen, zumal häufig die Verkaufspreise direkt durch prozentuale Zuschläge auf die Einkaufspreise festgesetzt werden.

6. Schlussbemerkungen und Ausblick

Dass die lineare Kostenfunktion in der Praxis vieler Unternehmen Relevanz hat, kann man selbst schnell prüfen, indem man sich – wie oben für BMW dargestellt – die entsprechenden Zahlen für ein Unternehmen über einen längeren Zeitraum heraussucht und diese analysiert wie in diesem Beitrag geschehen. Zum Vergleich: Für VW und Mercedes sieht die Gegenüberstellung von Umsatzerlösen und Umsatzkosten über die 10 Jahre von 2016 bis 2025 so aus:


 
Urteilen Sie selbst !


 
Prognosen und Abweichungsanalysen anhand der oben vorgestellten Methoden lassen sich bei Annahme der linearen Kostenfunktion relativ leicht durchführen. Nicht ganz so leicht ist es, wenn sich herausstellt, dass grundsätzlich keine lineare Kostenfunktion vorliegt, sondern z. B. eine degressive Funktion aufgrund von Mengenrabatten o. ä. Will man die Methoden dennoch (abgewandelt) anwenden, ist es nötig, einen anderen Funktionsterm zu ermitteln, der die Beziehung zwischen variablen Kosten und Beschäftigungsgröße besser beschreibt als die lineare Funktion. Auch die Break-Even-Analyse fällt dann komplizierter aus, weil man nicht mit einem gleich bleibenden Deckungsgrad arbeiten kann. Es lohnt sich also zu prüfen, ob eine lineare Abhängigkeit zwischen variablen Kosten und Beschäftigung vorliegt, bevor man die hier dargestellten Verfahren anwendet.

letzte Änderung P.D.U.B. am 31.08.2026 Autor:  Prof. Ursula Binder Bild:  Bildagentur PantherMedia / Leung-Cho Pan

Autor:in

Frau Prof. Dr. Ursula Binder Professorin für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Rechnungswesen und Controlling an der TH Köln, vorher kaufmännische Leiterin eines mittelständischen Dienstleistungsunternehmens, Unternehmensberaterin, Seminarleiterin (Inhouse und öffentliche Seminare), Verfasserin von Lernbriefen für das Fernstudium, Autorin: Nachhaltigkeitsberichterstattung in mittelständischen Unternehmen, Haufe 2024, Schnelleinstieg Controlling, 8. Auflage 2023, Die 5 wichtigsten Steuerungsinstrumente für kleine Unternehmen, 1. Auflage 2017, Kennzahlen-Guide für Controller, 1. Auflage 2019.

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